Dans l’œil du compas - La géométrie d’Euclide à Einstein

Léonard Miodinow. Édition Saint-Simon.

Note de lecture de Jean-Pierre Thomas - SPS n° 257, mai 2003

Si Georges Ifrah avait sous-titré son Histoire universelle des chiffres « L’intelligence des hommes racontée par les nombres et le calcul »1, le présent ouvrage pourrait aisément le paraphraser, en prenant pour sous-titre « L’intelligence des hommes racontée par la géométrie ».

Voyage au fil des siècles et des idées

En effet, Mlodinow, membre de la Société Américaine de Physique, ancien professeur de physique à l’Institut Technologique de Californie et chercheur à l’université de Berkeley, nous entraîne dans un voyage passionnant au fil des siècles, sur l’histoire de la géométrie, cette discipline reine des mathématiques, qui en est sans doute aussi la mère fondatrice : plus de deux mille ans de panorama historique, des concepts intuitifs nés des nécessités pragmatiques de la modélisation de l’espace terrestre (la mesure des distances ou de la surface des terres cultivées) aux idées les plus avancées, toujours objets de débat, sur la théorie encore inachevée des cordes et des « branes ». Le voyage est ambitieux, mais jamais trop long (287 pages de récit, c’est presque un tour de force de concision), et en tout cas toujours vivant et plein de surprises, alors que l’on croyait déjà en connaître l’essentiel.

Reconnaissons à l’auteur le mérite de savoir nous plonger dans le réalisme des époques traversées, dans la vie des personnages rencontrés, pittoresques, admirables, étonnants, mais surtout toujours rendus très humains par la grâce d’une plume agréable qui sait aussi manier le clin d’œil et l’humour, en ne retirant au sérieux du propos que l’ennui qu’il pourrait engendrer. Jusqu’à la fin, le plaisir de cette lecture ne se dément pas.

Mais plus qu’un simple récit historique plein d’anecdotes, c’est aussi, à propos des notions abstraites de la géométrie, un parcours savamment construit à travers l’évolution des concepts de l’intelligence humaine dont elles sont issues. Notions abstraites certes, mais pas purement mathématiques, car il s’agit avant tout de l’évolution de nos idées sur la notion d’espace physique et sur sa modélisation, c’est-à-dire sur l’univers dans lequel nous vivons. Depuis des temps lointains, les membres de notre espèce se sont interrogés sur le monde qui nous entoure et sur la façon la plus objective dont ils pouvaient se le représenter. C’est tout le cheminement de cette longue démarche semée d’embûches qui nous est raconté par le menu. Des prémices échafaudées par Thalès il y a vingt-six siècles, en passant par le brillant Pythagore (il nous est présenté une superbe démonstration géométrique de son fameux théorème), cette quête inachevée commence véritablement avec Euclide qui fonde les bases de l’abstraction mathématique pure, au contraire des Babyloniens, qui, avant lui, et malgré leurs mérites, n’ont fait que compiler des « recettes » pour résoudre certains problèmes donnés. Ce n’est pas pour rien que la somme que le savant grec compile et synthétise dans les Éléments ne sera pas remise en cause dans ses cinq postulats avant près de deux mille ans.

Ce cinquième postulat justement, fera pourtant couler beaucoup d’encre et de sueur sur le front de ceux qui tenteront de le démontrer à partir des quatre qui le précèdent, mais en vain.

Après Euclide, et sans se cacher d’une aversion marquée pour certaines époques, telle le Moyen Âge, qu’il qualifie abruptement d’« âge des ténèbres », Mlodinow nous fait rencontrer de bien remarquables personnages au travers de ce parcours historique : Erathostène, premier à mesurer la circonférence terrestre (dont il avait donc parfaitement perçu la sphéricité), plus de deux siècles avant notre ère, Archimède, père de tous les ingénieurs, Hipparque qui élabore la première représentation « scientifique » du système solaire, Hypatie, première (brillante) femme de science dont l’histoire ait retenu le nom, au destin tragique, qui disparaîtra avec l’apogée intellectuelle d’Alexandrie, le génial et méconnu Oresme, inventeur de la féconde et moderne représentation graphique, au milieu du XIVe siècle, Descartes, qui révolutionne le raisonnement mathématique en introduisant les équations algébriques, le brillant autant que précoce Gauss enfin, qui n’allait rien de moins que déboulonner la doublement millénaire hégémonie d’Euclide, mais qui malheureusement n’en tirera gloire que de façon posthume.

Faiblesses pardonnées

Notons quand même dans ce récit passionnant quelques anachronismes mineurs que l’on pardonnera (un décalage de traduction ?) : page 74, on trouve par exemple, une allusion à Charlemagne (au début du IX e siècle) qui se serait opposé aux ordres monastiques des dominicains ou des franciscains, alors que ces ordres n’ont été créés que près de quatre siècles plus tard2 ! Notons également une impasse faite sur les talents des mathématiciens arabes, gardiens du temple des savoirs grecs antiques, durant ce Moyen Age si honni, à qui il nous aurait été agréable de voir rendre plus amplement justice pour leurs apports à la connaissance de cette discipline.

Notons aussi une allusion humoristique aux tables tournantes très en vogue au début du XIXe siècle, dont le mouvement était alors attribué, sans que la raison en doute, à un magnétisme animal occulte, alors que la remise en cause du cinquième postulat d’Euclide, que Gauss fera fructueusement aboutir, était, elle, proprement inconcevable !

Quête inachevée

Après Gauss, nous rencontrons Riemann, Poincaré (Henri, le cousin germain de Raymond, futur président de la III e République), Hilbert et Gödel, dont le célèbre théorème sur l’incomplétude des théories a marqué les esprits et a donné lieu à bien des interprétations aventureuses, faute d’avoir été véritablement compris3. Au cours de ce siècle passé, les travaux de ces brillants esprits nous conduisent, au-delà de la pure géométrie, aux notions plus fondamentales de la logique qui sont le socle même des mathématiques.

Et puis Mlodinow aborde le XX e siècle où la géométrie retrouve les concepts fondamentaux de la physique, avec la révolution relativiste einsteinienne qui interprète la force de gravitation comme une déformation de la structure géométrique de l’espace (en reprenant d’ailleurs des idées antérieures de Poincaré4). Conception hautement novatrice qui transcende la théorie du brillant Newton. L’étude de la physique s’avère donc en fait indissociable de celle de la structure de l’espace qu’elle investigue et qu’on ne peut finalement détacher des phénomènes qui s’y déroule. La physique et la géométrie sont sœurs siamoises.

Cette nouvelle conception de l’Univers dans lequel nous vivons s’est révélée particulièrement féconde, et les théories - inachevées - visant à unifier les forces fondamentales du monde physique nous entraînent sur des voies encore incomplètement défrichées. Mlodinow devient alors un véritable vulgarisateur des idées les plus récentes sur ces questions et des débats, interrogations et perspectives qu’elles suscitent. Il nous entraîne dans l’abstraction vertigineuse des « cordes » et des « branes », et un Univers au nombre de dimensions difficilement concevable (onze nous dit-on, contre les trois immédiatement accessibles à nos sens). Tout éloignées du sens commun qu’elles nous semblent, demain, sans doute ces notions paraîtront-elles aussi évidentes aux générations qui nous auront succédé que celle de la gravitation l’est pour la nôtre.

Cette longue quête inachevée de l’homme pour appréhender par la raison le monde dans lequel il vit, Mlodinow la conclut par une réflexion philosophique sur le sens que cette démarche sous-tend ; il évoque aussi la gratitude infinie dont nous sommes redevables à tous les artisans de son parcours qui, non seulement nous ont révélé ces « vérités plus profondes », en « levant un coin du grand voile » selon la formule einsteinienne, mais qui nous les ont avant tout rendu intelligibles.

1 Georges Ifrah Histoire universelle des chiffres. L’intelligence des hommes racontée par les nombres et le calcul, Collection Bouquins, 2 tomes, Robert Laffont, 1994. Voir Science et pseudo-sciences n ° 212,, novembre-décembre 1994, p. 31. Cette théorie vise à expliquer le monde physique et - Graal des physiciens modernes - à unifier en une seule théorie les forces fondamentales décrites par la gravitation relativiste et l’électrodynamique quantique.

2 L’ordre des dominicains a été créé en 1215 à Toulouse, et la naissance de Saint-François d’Assise n’a lieu qu’en 1182. Peut-être l’auteur veut-il plutôt parler des ordres monastiques issus de celui de Saint-Benoît, né en 480, comme celui de Cluny fondé en 910.

3 Pour saisir la richesse et la subtilité de ce théorème fondamental des mathématiques contemporaines, nous ne saurions trop conseiller la lecture de l’ouvrage collectif d’E.Nagel, J.R.Newman, K.Gödel et J.Y.Girard, Le théorème de Gödel, collection Points Sciences, Le Seuil, 1989.

4 Voir à ce sujet Les cahiers de Science et Vie n° 61, février 2001, p. 26 à 40, « E=Mc_le silence de Poincaré ».

Mis en ligne le 16 juillet 2004
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