La science spéculative

par Jean-Paul Delahaye - SPS n° 290, avril 2010

Parmi les idées toutes faites sur la science, il y a celle-ci : la science examine, raisonne, prouve, elle ne fait pas d’hypothèse et se refuse à la spéculation... Nous allons soutenir que c’est là une erreur.

Dans de nombreux domaines, la science explore des éventualités, propose des tentatives variées et contradictoires d’explication, essaie des idées, des méthodes et des raisonnements nouveaux et risqués. Parfois, elle n’a les moyens ni de les valider, ni même de les mettre à l’épreuve : elle s’adonne à ce qu’il faut appeler de la spéculation. Est-ce légitime ? Cela participe-t-il du fonctionnement normal de la science ?

De notre point de vue, il n’y a pas de différences fondamentales entre formuler une hypothèse et l’étudier et s’adonner à la spéculation. Pour nous, il est légitime qu’un chercheur formule et étudie des hypothèses, à la condition qu’elles soient présentées comme telles et qu’aucune confusion ne soit possible entre, d’une part, les faits ou théories acceptées, et d’autre part, les faits ou théories hypothétiques. Il est dans la nature même de la science de chercher à comprendre ce qu’elle ignore et il en résulte que la formulation d’hypothèses dont les conséquences sont explorées avec minutie – ou même parfois seulement mises en attente de pouvoir être explorées – est un des buts principaux de la recherche scientifique. C’est en osant ce que les autres chercheurs n’ont pas osé, en étant meilleur spéculateur que ses concurrents, qu’on avance. La témérité intellectuelle n’est pas à bannir de la science, elle est son mode de fonctionnement normal !

L’idée n’est pas nouvelle et, par exemple elle est défendue à sa façon – c’est-à-dire en insistant sur la réfutabilité – par Karl Popper1 : « Des idées audacieuses, des anticipations injustifiées et des spéculations constituent notre seul moyen d’interpréter la nature, notre seul outil, notre seul instrument pour la saisir. Nous devons nous risquer à les utiliser pour remporter le prix. Cependant, ne participent vraiment au jeu de la science que ceux qui exposent leurs idées et prennent le risque de la réfutation. »

Assez schématiquement, on doit considérer deux cas différents.

Si les hypothèses – spéculations – sont formulées au sein de disciplines bien constituées et en s’appuyant sur les concepts et les modes de fonctionnement propres aux disciplines en question et pratiqués de longue date, cela donne des discussions intéressantes et acceptées de tous. Cela, même si aucune conclusion ferme n’en est tirée. Nous ne pensons pas que la réfutabilité d’une théorie soit aussi importante que Popper le défend : bien des hypothèses et théories infalsifiables, aujourd’hui et pour longtemps, sont considérées avec sérieux (en cosmologie, à propos de l’origine du vivant, etc.).

Si elles sont formulées aux limites des disciplines, ou sur des thèmes inter-disciplinaires, c’est encore intéressant, mais on ne réussira peut-être pas à faire l’unanimité. Certains chercheurs auront l’impression d’excès spéculatifs… et ils exprimeront leur désapprobation : c’est par exemple ce qui se produit à propos du principe anthropique, qui, selon les sensibilités des astrophysiciens, est considéré par eux comme pleinement scientifique, ou, à l’opposé, comme hors du domaine de la science. La science a aussi ses conservateurs qui la protègent des abus, du manque de rigueur auquel certains chercheurs se laissent aller, et obligent les plus téméraires à argumenter.

La frontière entre spéculations acceptables et abusives n’est pas fixée avec une parfaite précision. Elle se fixe en même temps que la science progresse, elle est l’objet même de discussion entre chercheurs. Il est clair cependant, que mieux vaut une spéculation s’appuyant sur des faits, des théories et des raisonnements scientifiques (ou tentant de s’approcher de raisonnements scientifiques), que des spéculations reposant sur des affirmations arbitraires aux origines incertaines provenant par exemple de prétendus textes révélés.

Ceux qui accusent la science d’être fermée, de défendre une « vérité officielle » qu’on n’aurait pas le droit de critiquer ou de faire évoluer, sont dans l’erreur. La science se nourrit de l’imagination des chercheurs et les hypothèses qu’ils proposent sont bien plus amusantes, fascinantes et variées que celles formulées sans retenue au nom des doctrines religieuses ou de superstitions diverses par ceux qui, en refusant de canaliser leur imagination et de la nourrir de faits et d’idées appris de la science, se limitent à n’explorer que des hypothèses déjà réfutées, mal construites, ou dont la vraisemblance est rendue extrêmement faible par manque de fondements rigoureux... et souvent d’une absence de compétence et de formation adéquate.

Il est bien sûr plus difficile de spéculer à partir d’un ensemble de théories, de concepts et de faits dont il a fallu prendre connaissance, que de divaguer sans garde-fou. La situation d’aujourd’hui n’est en rien nouvelle, et dans toutes les grandes disciplines, la spéculation a toujours été d’usage courant. C’est vrai, par exemple des mathématiques, de la physique, de l’astrophysique et de la cosmologie, de la biologie, de l’économie, de la psychologie, etc.

Intéressons-nous aux mathématiques qu’on oublie parfois de citer dans la liste des grandes disciplines spéculatrices.

Les mathématiques

Pour le sens commun, les mathématiques sont une discipline considérée comme totalement rigoureuse, et dont on a vite fait de croire que tout y est simplement vrai – parce que démontré – ou faux – parce que démontré faux ! La situation est en réalité, bien plus délicate et complexe. Tout n’y est pas simplement vrai ou faux, et d’ailleurs un mot est réservé pour parler justement de ces affirmations dont on n’arrive pas à savoir si elles sont vraies ou font seulement semblant de l’être. En mathématiques, on utilise le mot conjecture, et il est tout à fait raisonnable de poser l’équation :

Spéculations mathématiques = Conjectures

Sauf en de très rares exceptions, aucune confusion ne se produit dans l’esprit d’un mathématicien entre un théorème démontré, et une conjecture. Les deux énoncent des vérités, mais le théorème est lié par la démonstration aux autres vérités mathématiques qui lui servent de support, et aucun doute d’aucune sorte ne peut s’y appliquer (sauf si la démonstration est erronée). La conjecture de son côté est seulement une « possibilité de vérité, en attente de validation par une démonstration », ou encore, quelque chose que rien ne contredit en apparence mais qui pourrait en principe être invalidé demain.

Conjectures arithmétiques

Certaines conjectures sont ouvertes depuis plus de deux mille ans ; en voici un exemple.

La conjecture des nombres parfaits impairs

On connaît des nombres pairs qui sont égaux à la somme de leurs diviseurs propres : 6 = 1+2+3, 28 = 1+2+4+7+ 14. On dit que 6 et 28 sont des nombres parfaits. On en connaît en tout 47 (en février 2010) mais on ne sait pas s’il en existe une infinité : on conjecture que oui. Plus intéressant encore : on ne connaît aucun nombre parfait impair, sans que jamais personne n’ait pu démontrer qu’il n’en existe pas. L’affirmation : « Il n’existe aucun nombre parfait impair » est une conjecture jugée aujourd’hui très vraisemblable, mais non prouvée.

Elle est jugée vraisemblable, car par exemple on a pu établir que si n est un nombre parfait impair, alors il possède au moins 300 chiffres (pas la peine de chercher des nombres parfaits impairs à la main !), de plus, ses

facteurs premiers sont au moins au nombre de 75, et au moins l’un deux dépasse 100 000 000. Certains raisonnements heuristiques – c’est-à-dire fondés sur des jugements vraisemblables (de nature probabiliste en général) mais non parfaitement rigoureux – confortent l’idée que la conjecture est juste. Reste qu’il s’agit d’une affirmation incertaine dont le statut restera celui d’un énoncé probable dont on ne pourra exclure la fausseté que lorsqu’une démonstration en aura été proposée.

Ce type de situations où les mathématiciens s’intéressent à des affirmations qu’ils pensent vraies sans réussir à les démontrer est-il rare ? Non, les mathématiques contiennent des milliers d’affirmations spéculatives de ce type. Certains livres en font des listes et les classent2.

Les mathématiques, contrairement à ce que certains pensent, ne sont pas seulement une science de démonstrations et de théories qu’on déroule parce qu’on sait tout des objets dont elles parlent. Non, les mathématiques sont aussi une science d’exploration, de constructions mentales inachevées, de formulations incomplètes qu’on cherche à préciser, de doute et de mystère.

Toutes sortes de méthodes (heuristiques, informatiques, etc.) permettent de formuler de nouvelles conjectures. Les mathématiciens spéculent et la spéculation est un des moteurs de leur action.

L’informatique qui autorise des calculs massifs (et donc une expérimentation prolongée à grande échelle) conduit à d’étonnantes situations dont celle qui porte sur ce qu’on nomme les champions sauteurs. La conjecture suivante est particulièrement intéressante car personne ne peut croire qu’elle est fausse, en même temps que personne ne peut défendre qu’elle est vraie... au sens plein du mathématicien.

Conjecture des champions sauteurs

Jusqu’à l’entier 389, l’écart le plus fréquemment constaté entre deux nombres premiers consécutifs est 2. Ensuite, c’est 6 et cela semble le rester très longtemps. Le théorème des nombres premiers – qui indique que leur densité va en décroissant – implique cependant que 6 ne reste pas toujours le champion.

Andrew Odlyzko, Michael Rubinstein et Marek Wolf, menant une analyse informatique et heuristique, ont énoncé une loi remarquable qui affirme que :
Le champion 6 est détrôné vers 1,7 1036 et est alors remplacé par 30 = 2x3x5.
Plus généralement les champions successifs sont les produits de nombres premiers : 2, puis 6 = 2×3, puis 30 = 2×3×5, puis 210 = 2×3×5×7, puis 2310 = 2×3×5×7×11, etc.

Si on note D(n) = 2×3×....×pn le produit des nombres premiers jusqu’au n-ième, alors D(n) deviendrait champion à partir du nombre :
N(n) = exp [ (2×3×.... ×pn-1×(pn-1)/ln((pn-1)/(pn-2)) ]

Cela donne le tableau (partiel) suivant :

n D(n) N(n)
2 6 321
3 30 1,70×1036
4 210 5,81×10428
5 2310 1,48×108656
6 30030 1,30×10138357
10 6469693230 3,56×1074595540317
11 200560490130 2,10×102486392448589

Testée à l’aide d’ordinateurs la conjecture apparaît confirmée.

Bien conscients de ce que le type d’analyses menées fait de l’arithmétique une étrange science, les auteurs écrivent « Il n’y a ni théorème ni preuve, seulement des résultats d’ordinateurs, des conjectures et l’interprétation des régularités qu’observe un physicien. »

Pourtant, ces constatations concernant les champions sauteurs ne « peuvent pas » être fortuites et donc, nous nous trouvons dans l’étrange situation d’un énoncé mathématique dont personne ne doute, car il est inconcevable que ce que l’on a constaté soit le fruit du hasard, mais que personne ne peut espérer démontrer dans un avenir proche, car même la conjecture des nombres premiers jumeaux – du même type mais bien plus élémentaire – résiste à tous les assauts.

L’infini


L’arithmétique est un domaine des mathématiques où la nature des objets ne pose pas de problème : tout le monde accepte l’idée qu’il existe (au moins potentiellement) des nombres entiers et que leurs propriétés sont fixées indépendamment de nous et de ce que nous voulons. Il n’en va pas de même dans tous les domaines mathématiques. En théorie des ensembles par exemple, l’incertitude et la spéculation sont alors d’une nature plus profonde et bien plus délicate car elle ne se limite plus aux affirmations mais porte aussi sur les entités et leurs relations.

À titre d’exemple (mais une grande partie de la théorie des ensembles est concernée par des difficultés analogues) nous allons considérer l’Hypothèse du continu.

À la fin du XIXe siècle, l’étude de l’infini, considérée jusqu’à ce moment-là comme n’appartenant pas à la science, devient, grâce à la témérité de Bolzano et de Cantor (qui dut subir l’hostilité de Leopold Kronecker) un sujet mathématique légitime. Ce changement de statut, qui ne s’est pas produit sans heurts et sans à-coups, est un exemple frappant de l’élargissement du domaine des sciences. L’infini quitte – partiellement au moins – le domaine de la philosophie et de la religion où il se tenait, pour entrer dans ce qu’on considère sans plus aucune discussion aujourd’hui, comme le domaine de la science.

Dit autrement : les spéculations sur l’infini auxquelles s’adonnaient la philosophie et la religion et qui ne semblent pas avoir permis d’apprendre grand chose à son sujet (tant ces spéculations furent des jeux rhétoriques et dogmatiques) changent de nature. Elles deviennent un sujet honorable, rigoureux qui progresse rapidement dans un premier temps, puis rencontrent des difficultés, certaines faisant obstacles quelques années voire quelques décennies, d’autres persistant aujourd’hui encore. Les anciennes discussions spéculatives et ne produisant rien de tangible se poursuivent maintenant dans le cadre de la théorie des ensembles et sont devenues des travaux reconnus, cumulatifs et qui construisent un savoir véritable et profond dont personne ne discute le statut scientifique. Finalement, bien mieux que les disputes ou constructions mal fondées qui ont précédé, le passage aux mathématiques permet d’affirmer que, d’année en année, la connaissance de l’infini progresse.

Parmi les connaissances adoptées, il y a l’affirmation (due à Cantor) qu’il existe une infinité de sortes différentes d’infinis, dont les plus petits échelons se nomment l’infini dénombrable (celui des entiers) et l’infini du continu (celui des nombres réels, ou d’une droite infinie). La question simple de savoir s’il existe un infini intermédiaire entre le dénombrable et le continu reste cependant non résolue. L’affirmation : « Tout sous-ensemble infini de l’ensemble des nombres réels peut être mis en correspondance bijective, soit avec l’ensemble des entiers, soit avec l’ensemble des réels (autrement dit : il n’y a pas d’infini intermédiaire entre les entiers et les réels) » est nommée hypothèse du continu et notée HC.

Depuis plus d’un siècle, on en discute, et si on a pu établir (résultat de Kurt Gödel et Paul Cohen) que les axiomes de base de la théorie des ensembles ne permettent ni de démontrer que HC est vraie, ni qu’elle est fausse, cela ne signifie pas que la question soit réglée, mais qu’il faut rechercher d’autres axiomes, discuter de leur acceptation, et voir s’ils impliquent HC ou sa négation. Ce travail hautement spéculatif, à l’apparence parfois philosophique et concernant un domaine d’une abstraction déconcertante, se poursuit et, petit à petit, semble conduire (grâce en particulier aux travaux de Hugh Woodin) à la conclusion que HC serait « fausse ». De nouveaux axiomes, qu’une subtile argumentation défend et conduit à accepter comme naturels, se sont ajoutés aux axiomes usuels de la théorie des ensembles et conduisent (presque) à la solution attendue3.

La science dans ce cas n’a pas éteint la spéculation, elle lui a permis de s’épanouir, elle lui a ouvert un champ où l’imagination, loin d’être bloquée, se trouve encouragée à aller plus loin et peut le faire puisque ce qu’elle produit n’est pas laissé au jugement d’autorités incarnées dans des institutions ou des individus particuliers, mais est soumis à un être collectif et désintéressé : le mathématicien universel. Ce mathématicien universel, que chaque mathématicien particulier incarne, juge ce qui mérite considération et ce qui ne le mérite pas, mais le plus souvent, il le fait en accord avec tous les autres, car les modes de production des jugements sont suffisamment clairs et explicites pour que plus aucun arbitraire, plus aucune psychologie, plus aucune controverse et plus aucun conflit personnel ne s’y insinue et n’y joue de rôle. On dira que je simplifie et que les effets d’école, d’autorité, de nationalité jouent en mathématiques, comme dans toutes les sociétés humaines. Je l’admets, mais ce jeu est limité et il ne concerne en général ni la vérité, ni l’intérêt des grands résultats sur lesquels l’accord est le plus souvent unanime.

La science ici, non seulement tolère la spéculation, mais elle la permet, l’encourage et lui fournit les moyens de devenir plus téméraire, plus folle même.

Parler de l’ensemble de tous les ensembles, évoquer des ensembles qui pourraient être éléments d’eux-mêmes, considérer une infinité d’infinis, envisager une suite infinie d’infinis et en prendre la limite, etc. toutes ces idées (et d’autres bien plus improbables encore) ont droit de cité et ne provoquent aucun rejet tant le domaine, ses méthodes et objets ont été rendus précis et propres à des discussions constructives... aussi spéculatives qu’elles soient.

Tout ceci est vrai de l’infini, mais pourrait être dit à propos du hasard, de la notion de vérité (que la logique mathématique étudie). Une partie non négligeable des mathématiques est de la philosophie spéculative faite science ou pour le dire encore plus simplement est de la spéculation constructive, contrôlée et féconde.

Ce que nous venons d’évoquer pour les mathématiques est évidemment vrai pour d’autres sciences. À coup d’idées, toutes plus téméraires et risquées les unes que les autres, les chercheurs envisagent et produisent des scénarios pour l’origine de la vie, d’autres pour la naissance de l’univers. Ils proposent des modèles de l’univers comme totalité, tentent de deviner ce qui pourrait arriver dans un avenir très lointain au système solaire, à la galaxie, ou même à l’univers conçu comme une totalité. Ils discutent de l’existence d’une vie extraterrestre et de sa probabilité, de sa nature, etc.

Oui, la science est ouverte, oui elle tolère et encourage les spéculations qui la nourrissent et qui, même lorsqu’elles conduisent à des hypothèses non testables, n’en constituent pas moins des travaux dont la valeur et la scientificité sont acceptées par presque tous. Les légers flottements et désaccords aux frontières des disciplines sur des sujets comme le principe anthropique, l’origine de la vie, la vie extraterrestre, les univers parallèles, les théories du tout, et quelques autres que certains hésitent parfois à considérer comme légitimes, montrent que justement la rationalité qui se construit en science n’est pas jouée d’avance.

Mathématiques pour le plaisir
Un inventaire de curiosités

Jean-paul Delahaye

Éditeur : Pour la Science, Collection, février 2010, 208 pages, 25 €

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Les mathématiques sont faciles et s’y adonner est un plaisir. La preuve la plus simple vient de la musique qui est toujours, d’une façon ou d’une autre, un jeu abstrait de nature mathématique, qui fait ressentir à chacun l’infinie beauté des formes pures et immatérielles, formes qui justement sont la préoccupation du mathématicien. Les arts géométriques et typographiques, les jeux de cartes, les jeux avec des dominos ou avec des damiers, la vie sociale et politique et ses subtiles stratégies, le commerce, toutes ces activités sont mathématiques et souvent procurent des satisfactions... même à ceux qui clament ne pas aimer les mathématiques et y être « nuls ».

L’objectif de ce livre est de persuader les lecteurs qui ne le sont pas déjà, que les mathématiques ne se réduisent pas – heureusement – à ce qu’on nous en apprend à l’école, et que, partout présentes, elles sont une source de joie et d’épanouissement pour celui qui sait y consacrer un peu d’attention et d’esprit ludique.

Les cinq thèmes principaux du livre sont : Arts et mathématiques ; Géométries amusantes ; Jeux ; Nombres ; Casse-tête et énigmes.

Composés à partir des articles de la rubrique « Logique et calcul » qui paraissent chaque mois dans la revue Pour la science, les 22 chapitres de ce livre peuvent être lus dans l’ordre qui vous plaira, et même partiellement en ne s’attachant qu’aux figures et encadrés... si tel est votre bon plaisir.

Présentation de l’éditeur.

1 Karl Popper, La Logique de la découverte scientifique, 1935 (page 280 de l’édition anglaise Routledge Classic, 2002).

2 C’est le cas par exemple de Richard K. Guy. Unsolved Problems in Number Theory, Springer, 2004.

3 Voir des détails dans : Jean-Paul Delahaye. « Imaginer l’infini ou le découvrir », Pour la science, août 2008, pages 90-95.

Mis en ligne le 11 août 2010
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