Mieux que le hasard !

par Nicolas Gauvrit - SPS n° 278, août 2007

Réussir des prévisions (comme le temps qu’il fera dans un an) mieux que le hasard, tout le monde peut le faire. Il suffit pour cela de ne pas se trouver dans le cas d’équiprobabilité.

Lors d’une réunion toute récente regroupant des didacticiens et des enseignants confrontés aux statistiques, l’un des intervenants a cité une anecdote étonnante. Pour illustrer l’une de ses leçons devant un parterre d’étudiants en sciences de l’éducation, il avait utilisé un tableau donnant, pour l’enseignement privé et public, la répartition des classes sociales. Le niveau social des parents était grossièrement scindé en quatre classes : très défavorisé, défavorisé, favorisé, très favorisé. Il se trouve que, dans le privé, les classes sont réparties équitablement, dans le sens où chacune des quatre classes représente à peu de chose près 25 % de la population. Ce n’est pas du tout la même chose dans le public.

Stupéfaction dans l’assemblée ! Les étudiants s’attendaient à trouver une inégalité flagrante dans l’enseignement privé, et les voilà obligés de constater que le privé est plus équitable que le public… C’est du moins la première interprétation des données qui leur vient à l’esprit.

Biais d’équiprobabilité

Il fallut un temps considérable à l’enseignant pour convaincre les étudiants que leur raisonnement était faux. Faux, car s’il est vrai que, dans le secteur privé les catégories socioprofessionnelles (CSP) sont « mieux réparties » dans un certain sens, elles sont également peu représentatives de la réalité de la population entière.

Pour savoir si l’enseignement privé est « équitable » (notion floue), ce qu’il faudrait étudier, c’est l’adéquation de la répartition des CSP du privé avec celle du reste de la population. En l’occurrence, la classe « très favorisée » représente dans la population nationale un pourcentage inférieur à 25 %. Autrement dit, les chiffres montrent une surreprésentation des classes supérieures, exactement comme on s’y attendait. Il n’y a pas lieu d’être étonné.

Mais, pour les étudiants comme pour la plupart d’entre nous, de manière tout à fait inconsciente, la référence n’est pas la réalité, mais l’équiprobabilité, c’est-à-dire l’égalité des pourcentages. On pense que, si l’on choisit une personne au hasard, il y a autant de chance qu’elle soit dans la CSP défavorisée que dans la CSP favorisée (ce qui est faux).

La loi de Benford

Ce biais d’équiprobabilité est à l’œuvre dans le paradoxe qui suit. Choisissons de manière plus ou moins aléatoire un grand nombre de données numériques (par exemple les longueurs de fleuves et rivières exprimées en kilomètres, ou les cours de la Bourse), et considérons pour chacun de ces nombres le premier chiffre significatif. Par exemple, pour 153, ce chiffre est le « 1 », parce que c’est le premier non nul à gauche. Pour 0, 0043, c’est 4.

La loi de Benford prévoit que la probabilité d’obtenir un « 1 » est bien plus grande que celle d’obtenir un « 2 » ou un « 3 »1.

Cela stupéfait la plupart des gens, qui s’attendent à avoir la même proportion de 1 que de 2 ou de 9. Mais ce qui est étonnant dans ce paradoxe n’est pas mathématique, mais bien psychologique. Car il n’y a aucune raison mathématique pour que ce premier chiffre suive une loi équiprobable. En réalité, un petit calcul mathématique montre que la loi de Benford est formellement « naturelle »… À défaut de l’être pour nous, handicapés que nous sommes par le biais d’équiprobabilité.

Cette illusion cognitive a été déjà remarquée par divers psychologues, et notamment par une équipe de l’université de Rouen. Demandez à un quidam « Un couple a trois enfants. Est-il plus probable qu’il ait 2 garçons et une fille, ou trois garçons ? ». La plupart vous diront que les probabilités sont identiques2, « parce que c’est dû au hasard ». Comme si toute répartition due au hasard donnait un cas d’équiprobabilité : les psychologues nomment cette illusion le biais d’équiprobabilité.

Ce biais d’équiprobabilité, comme bien d’autres illusions, n’est pas totalement dénué de fondement. Le cas d’équiprobabilité correspond en effet à celui où l’information sur l’issue du tirage est la plus faible, ce qui colle parfaitement avec ce que nous attendons du hasard. Néanmoins, il amène des erreurs. Dans le cas ci-dessus, l’erreur est de comparer la distribution des CSP du privé avec le cas d’égalité des pourcentages, alors qu’il faudrait la comparer à la distribution réelle dans le pays.

À quoi comparer ?

Plus généralement, il est quelquefois délicat de déterminer à quoi comparer une distribution. C’est le cas typiquement lorsqu’on souhaite évaluer la qualité d’une série de prédictions, par exemple suite à une séance de voyance, ou à l’élaboration d’une prévision astrologique.

Prenons un exemple simple : vous tirez une carte, et je devine, par la force de la pensée, s’il s’agit ou non d’une tête (valet, dame ou roi). Je réussis cet exercice plus d’une fois sur deux (si si) ! Et pourtant (hélas pour mon ego), cela ne signifie nullement que je dispose d’un don particulier.

Je pourrais, ignorant le nombre de têtes du jeu, répondre au hasard avec, à chaque fois, la même probabilité de dire « tête » et « non tête ». Dans ce cas, mon taux de réussite sera de 50 % en effet. Si je dépasse les 50 %, c’est soit que je dispose d’un don paranormal, soit que j’utilise une connaissance particulière.

Le biais d’équiprobabilité dans une « thèse » de sociologie

Élizabeth Teissier, astrologue très médiatique, a réussi à trouver un jury universitaire, présidé par Serge Moscovici, qui a accepté de lui délivrer le titre de « Docteur en sociologie » sur la base d’un mémoire (sous la direction de Michel Maffesoli) qui s’est en fait révélé n’être qu’un plaidoyer pro astrologique. Plaidoyer qui plus est, truffé d’erreurs et de contrevérités (voir l’analyse de la thèse sur notre site Internet).

Ainsi, dans un chapitre intitulé « La résistible hégémonie de l’idéologie scientiste », l’astrologue s’attache à réfuter les critiques scientifiques de sa pratique. « Il faut préciser que leur conclusion [aux opposants à l’astrologie] consistait à dire que les ressources prévisionneles de l’astrologie ne dépassaient pas le hasard, à savoir une chance sur deux. Comme notre expérience nous avait donné des résultats très différents (environ 4 prévisions sur 5 avérées), nous n’étions pas prête à laisser l’astrologie malmenée ». (p. 760). Le hasard, ce n’est pas une chance sur deux…

Toujours à propos des statistiques, madame Teissier invente de nouveaux concepts qu’elle ne définit jamais, comme par exemple les statistiques carrées et linéaires. « En effet, la synthèse subtile de mille facteurs qu’elle [l’astrologie] nécessite de même que leur enchevêtrement complexe […] apparaissent comme autant de contre-indications à des statistiques carrées et linéaires. » (p. 295). Un peu de jargon fait sans doute plus sérieux… et a réussi à abuser un jury universitaire qui s’est, pour l’occasion, complètement discrédité.

J.-P. K.
Cette connaissance particulière, c’est qu’il y a environ 25 % de têtes. Je peux donc répondre au hasard, mais pas de manière équiprobable, en disant « tête » seulement une fois sur 4. Cela m’assure un taux de réussite moyen de 0,25 × 0,25 + 0,75 × 0,75 = 0,625 environ, soit 62,5 % de réussite. Je fais donc mieux que « le hasard », du moins ce hasard particulier où toute possibilité a la même probabilité de se produire.

Mais je peux faire bien mieux : répondre systématiquement « non tête ». De cette manière, j’atteins sans peine un taux de réussite de 75 %. C’est la stratégie optimale. Autrement dit, il existe un moyen totalement simple et non paranormal d’atteindre 75 % de réussite. Quiconque prétend détenir un pouvoir doit dépasser ce 75 %, et non pas seulement le 50 % qu’on imagine habituellement.

Cette illusion que le hasard exige une situation d’équiprobabilité est utilisée de manière bien plus floue par les astrologues qui assurent avoir prédit tout un tas d’événements. Certaines situations, en général bien vagues, ont effectivement été énoncées, telle cette prévision d’Élizabeth Teissier concernant le pape : « le dernier trimestre 1980, puis le printemps 1981, ne seront pas exempts d’embûches pour ce saint homme ». Elle tente par la suite de nous expliquer qu’on a là une description de l’attentat de mai 1981 (voir aussi l’encadré « Le biais d’équiprobabilité dans une “thèse” de sociologie »).

En réalité, la conjoncture politique des pays de l’Est à l’époque, les prises de position du pape et un voyage prévu en Turquie, rendaient pour le moins probable que la situation serait pleine d’embûches. Que de telles « prévisions » se réalisent plus d’une fois sur deux n’a rien d’étonnant.

Un tout petit peu de connaissance permet donc de donner des prévisions tout à fait bonnes bien plus d’une fois sur deux. Dans Attention, Statistiques !, Joseph Klatzmann donne ainsi une recette pour prédire le temps qu’il fera un jour déterminé dans un an. On dépasse là très largement les prévisions météorologiques courantes. Il suffit pour cela de prédire qu’il fera le même temps que l’année précédente à la même date. Les saisons étant ce qu’elles sont malgré le réchauffement climatique, cela donne un taux de réussite de 75 % (selon le même principe de calcul que l’astrologie). Étonnant, non ?

Références
Klatzmann, J. (1996). Attention, statistiques ! Paris : La Découverte.
Lecoutre, M.-P., Clément, E., Lecoutre, B. (2004). Failure to construct and transfer correct representations across probability pro blems. Psychological Reports, 94, 151-162.

1 En fait, la probabilité de trouver en première position un chiffre d est log(1+1/d).

2 En réalité, il est trois fois plus probable d’avoir deux garçons et une fille

Mis en ligne le 29 novembre 2007
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